Chuỗi tâm trên

Tồn tại một nhóm G {\displaystyle G} là lũy linh nếu nó có các chuỗi tâm trên ổn định sau khi hữu hạn toàn bộ nhóm (tức là tồn tại một số tự nhiên c {\displaystyle c} sao cho Z c ( G ) = G {\displaystyle Z_{c}(G)=G} . Sau đây chúng ta định nghĩa Z i ( G ) {\displaystyle Z_{i}(G)} bằng phương pháp quy nạp:

Tâm Z i ( G ) {\displaystyle Z_{i}(G)} là tạo ảnh của tâm Z ( G / Z i − 1 ( G ) ) {\displaystyle Z(G/Z_{i-1}(G))} dưới các ánh xạ thương từ G {\displaystyle G} đến G / Z i − 1 ( G ) {\displaystyle G/Z_{i-1}(G)} và Z 0 ( G ) {\displaystyle Z_{0}(G)} là nhóm con chuẩn tắc của G {\displaystyle G} .

Chuỗi tâm dưới

G {\displaystyle G} là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên c {\displaystyle c} sao cho [ [ [ . . [ G , G ] , G ] , G ] , . . . G ] {\displaystyle [[[..[G,G],G],G],...G]} là chuẩn tắc với G {\displaystyle G} được nhắc lại c + 1 {\displaystyle c+1} lần. [ , ] {\displaystyle [,]} là giao hoán tử của các tập con của G {\displaystyle G} .

Chuỗi tâm

G {\displaystyle G} là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên c {\displaystyle c} và một dãy con hữu hạn:

G = H 1 ≥ H 2 ≥ . . . ≥ H c + 1 = { e } {\displaystyle G=H_{1}\geq H_{2}\geq ...\geq H_{c+1}=\left\{e\right\}} và mỗi H i {\displaystyle H_{i}} là nhóm con chuẩn tắc của G {\displaystyle G} và H i / H i + 1 {\displaystyle H_{i}/H_{i+1}} là tâm của G / H i + 1 {\displaystyle G/H_{i+1}} .

Nhóm con chéo bình thường của tích Descartes của nhóm (tạm dịch)

Tập { ( g , g ) : g ∈ G } {\displaystyle \left\{(g,g):g\in G\right\}} là nhóm con của tích Descartes G × G {\displaystyle G\times G} với mọi c ∈ N {\displaystyle c\in \mathbb {N} } .

Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc (tạm dịch)

Tồn tại độ dài subnormal (không dịch được) c ∈ N {\displaystyle c\in \mathbb {N} } sao cho [ [ . . . [ [ x 1 , x 2 ] , x 3 ] , . . . ] , x c + 1 ] {\displaystyle [[...[[x_{1},x_{2}],x_{3}],...],x_{c+1}]} nhận giá trị của phần tử đơn vị với mọi x i ∈ G {\displaystyle x_{i}\in G} .

Tích giao hoán tử chuẩn-"bất kỳ hướng" chuẩn tắc (tạm dịch)

Tồn tại số c {\displaystyle c} như trên sao cho mọi tích giao hoán tử bao gồm c {\displaystyle c} tích giao hoán tử.

Trong trường hợp c = 3 {\displaystyle c=3} , biểu thức

[ [ x 1 , x 2 ] , [ x 3 , x 4 ] ] , [ [ [ x 1 , x 2 ] , x 3 ] , x 4 ] ] , [ x 1 , [ x 2 , [ x 3 , x 4 ] ] ] {\displaystyle [[x_{1},x_{2}],[x_{3},x_{4}]],[[[x_{1},x_{2}],x_{3}],x_{4}]],[x_{1},[x_{2},[x_{3},x_{4}]]]} ,

[ [ x 1 , [ x 2 , x 3 ] ] , x 4 ] , [ x 1 , [ [ x 2 , x 3 ] , x 4 ] {\displaystyle [[x_{1},[x_{2},x_{3}]],x_{4}],[x_{1},[[x_{2},x_{3}],x_{4}]} đều nhận giá trị của phần tử đơn vị.

Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc tổng quát

Giống tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc nhưng tổng quát hơn.